コトノミ

「フェルマーの最終定理」というものをご存知だろうか？

ｎが２より大きい自然数であれば Ｘ ^n＋Ｙ ^n＝Ｚ ^n を満たす、自然数Ｘ、Ｙ、Ｚは存在しない。

（「^n」は、ｎ乗という意味）

これが、そのフェルマーの最終定理と呼ばれる代物である。あまり数学に馴染みの無い読者のために、簡単に説明しよう。

まず、あえてｎが２の場合を考えてもらいたい。最終定理は、ｎが２より大きい自然数の場合のみ有効なのだが、ｎが２の場合であれば、大抵の読者がどこかで見たことのあるであろう形になる。

Ｘ ^２ ＋ Ｙ ^２ ＝ Ｚ ^２

ここで、Ｘ、Ｙ、Ｚそれぞれに、任意の自然数を代入してみる。

３ ^２ ＋ ４ ^２ ＝ ５ ^２

ど うだろう。何となく見覚えが無いだろうか？そう、あの有名な「ピタゴラスの定理」である。そして、このピタゴラスの定理が、直角三角形の辺の長さに関する ものであるというところまでは、覚えておいでではないだろうか。とにかく、このピタゴラスの定理は、三角形の辺の長さから、その三角形が直角三角形かどう かを知ることができるというものである。そして、当然のことだが、直角三角形の辺の長さに制限は無い。つまり、直角三角形となり得る辺の組み合わせは、無 限に存在するということである。これを言い換えれば、

ｎが２であれば Ｘ ^n＋Ｙ ^n＝Ｚ ^n を満たす、自然数Ｘ、Ｙ、Ｚは無限に存在する。

ということになる。ところが、フェルマーの最終定理によれば、ｎが２より大きい自然数になると、とたんにこの法則は成り立たなくなる。つまりＸ ^３ ＋ Ｙ ^３ ＝ Ｚ ^３ でも、Ｘ ^４ ＋ Ｙ ^４ ＝ Ｚ ^４でも、Ｘ ^５ ＋ Ｙ ^５ ＝ Ｚ ^５でも、とにかくｎが２より大きい自然数であれば、そのような条件を満たす、自然数Ｘ、Ｙ、Ｚは存在しないのである。

フェルマーの最終定理が意味するところは、ご理解いただけたと思う。そして、中には「最終定理なんて呼ばれてるわりには、随分と単純だなぁ」と感じた読者もいるかもしれない。だが、この最終定理、実は証明されるのに３５０年（！）も かかったのである。ちなみに、先ほどのピタゴラスの定理の場合、中学生程度の数学知識があれば、誰でも１時間程度で証明できるものである。１時間と３５０ 年では、３００万倍近くの差があるのだから、いかにこの最終定理の証明が難しいものであるかは想像がつくだろう。ちなみに、念のために言っておくと、私が 言う「証明にかかった時間」というのは、証明法が分かるまでにかかる時間であって、その証明法を得てから実際に証明するまでの計算などにかかる時間のこと ではない。つまり、フェルマーの最終定理が世に知られてから、それを証明する方法が分かるまでに３５０年の歳月を費やしたということである。

最 終定理の生みの親は、言うまでも無くフェルマーという人物である。本名をピエール・ド・フェルマーというフランスの法律家であった彼は、同時に熱烈な数学 愛好家でもあった。１６０８年生まれの彼は、今でこそ偉大な数学者として有名だが、同時は家族やごく一部の親しい友人以外、彼に天才的な数学の才能がある と知る人はいなかった。というのも、この最終定理以外にも数学に多大な貢献をもたらしたフェルマーだが、自身の数学研究の成果を本として書き残すことはし なかったのである。フェルマーは、本を出版する替わりに、発見した定理などを友人に手紙で送ったり、数学書の余白に書き残したりしていたのである。

こ のフェルマー、実はやっかいな癖があった。新しい数学上の発見をしても、殆どの場合、その証明法を教えなかったのである。しかし、フェルマーから新しい発 見を記した手紙を受け取った友人などが、「デタラメなんじゃないの？」などといった突っ込みを入れると、証明のヒントなどを書いた手紙を送っていたらし い。なんとも遊び心のある人物ではないか。とにかく彼は、数学の歴史上かなり重要となる発見を幾つもし、それを証明無しに手紙で送ったり、本の余白に書き 残していったのである。そして、それらは他の数学者の手によって証明されたり、ごく稀にフェルマー自身が証明を残したものもある。

さて、 肝心の最終定理である。なぜ、この定理が３５０年もの間、数多くの数学者達の頭を悩ませ続けてきたかと言うと、これまた何ともやっかいなことに、最終定理 はフェルマーが死んでから公表されたのである。そして、例によって彼はこの発見に関しても、一切の証明法を残さなかった。ただ「何とも興味深い証明法を見 つけた」とだけ言い残し、彼は天国へ逝ってしまったわけである。普通、数学上の発見というのは、それが証明されるまでは「定理」ではなく「予想」と呼ばれ る。つまり、フェルマーは証明を残さず死んでしまったのであるから、厳密に言えば、予想を立てただけということになってしまうはずである。しかし、フェル マーが数多くの発見をし、それらが殆ど全て正しかったことから、これもまた正しいのだろうということで、フェルマーの最終定理と呼ばれるようになったので ある。

これが、フェルマーの最終定理が誕生した、大体のいきさつである。これだけでもなかなか面白いのだが、３５０年かけて最終定理が証 明される歴史もまた、大変興味深いものである。これについては数多くの著作があるので、興味がある方はぜひ一度読んでみてはいかがだろうか。ちょっと数学 が好きな方であれば、下手な推理小説を読むより面白いはずである。「フェルマーの最終定理 ピュタゴラスに始まり、ワイルズが証明するまで」 などは、ドキュメンタリー番組が基になっているだけあって、難しい数式などが出てこない分、誰にでも楽しめるのではないだろうか。

ところでこの最終定理だが、私個人はもの凄く不思議に感じるのである。中でも、ｎが３の場合の応用が一番把握しやすいこともあり、特に不思議に思える。つまり、Ｘ ^３ ＋ Ｙ ^３ ＝ Ｚ ^３ を満たす、自然数Ｘ、Ｙ、Ｚは存在しない、ということである。これは言い換えると、「辺の長さが整数の２つの正立方体の体積の和と等しい体積を持つ、辺の 長さが整数の正立方体は存在しない」ということである。ちょっと分かりにくいかもしれないので、下の例を読んでみてほしい。

まず、真四角 なサイコロを思い浮かべて欲しい。次に、テーブルの上にサイコロを縦横が３個づつになるように置く。この時点では、３ｘ３＝９個のサイコロが、正方形の形 で置かれていることになる。今度は、同じ３ｘ３のサイコロのブロックをもう一つ作り、先ほどのブロックの上に重ね、その上にさらに同じブロックを１個重ね る。そうすると、テーブルの上には３ｘ３ｘ３＝２７個のサイコロが、ちょうどルービック・キューブのような正立方体を成して置かれていることになる。

同 じ要領で、今度は４ｘ４ｘ４＝６４個のサイコロを、正立方体の形に置く。すると、テーブルの上には２７＋６４＝９１個のサイコロがあることになる。では、 その９１個のサイコロを「全て」使って、１つの正立方体を作ってみてほしい。残念ながら無理である。では、最初に作る２つの正立方体の組み合わせを変え て、使えるサイコロの数を増やせばどうにかなるだろうか？例えば、最初に５ｘ５ｘ５＝１２５個のサイコロでできた立方体と、６ｘ６ｘ６＝２１６個のサイコ ロでできた立方体を用意すれば、全部で１２５＋２１６＝３４１個のサイコロがあることになる。これだけあれば何とかなりそうに思えるかもしれないが、残念 ながらこれも無理である。そして、最初にどのような正立方体を２つ用意しても（たとえ同じ数のサイコロを使ったものを２つ用意しても）、テーブルに載せら れたサイコロを１つの正立方体の形に組み上げることは「絶対に不可能」なのである。そしてこれが、「辺の長さが整数の２つの正立方体の体積の和と等しい体 積を持つ、辺の長さが整数の正立方体は存在しない」、ということである。

自然数は無限にあるのだから、最初の二つの正立方体になるサイコ ロの組み合わせも無限にあるわけである。無限というからには、想像し得る全ての組み合わせが可能だということだ。しかし、それでも最終的に１つの正立方体 を作れる組み合わせは絶対に無いのである。無限の可能性をしても不可能なことがある、そのことが、私には不思議で不思議でしょうがないのである。

光には波長がある。そして同じ光でも、波長によって違う名で呼ばれる。私達にとって最も身近な光は、可視光と呼ばれる、目で見える光だ。可視光の波長は 400nm～800nm位。波長が長い光ほど赤く見え、逆に波長の短い光は紫に見える。しかし、可視光は光のごく一部でしかない。赤よりも波長の長い光は 「赤外線」、さらに波長が１ｍ以上になると「電波」と呼ばれる。逆に、紫よりも波長の短い光は「紫外線」、波長が1nm以下になると「X線」、さらに短く なるとガンマ線と呼ばれる。私達は普段、可視光だけを意識しているが、このように電波も赤外線も紫外線も光なのである。そして、可視光以外の光で世界を見 ると、とても面白い。厳密には、可視光以外の光を可視光に変換する装置を通してということになる。例えば、よく映画にも登場する「ナイトスコープ」という 装置を使えば、赤外線で見ることができる。これは、その名の通り暗闇でも物が見えるというもの。他にも、「レントゲン」を使ってX線で見れば、体の骨格が 透けて見える。このように、可視光以外の光で見ると、世界は全く違う姿で見えてくるのである。

8月25日に打ち上げられた「スピッツァー望遠鏡」 は、そうした可視光以外の光、赤外線を使って宇宙を観測することができる。この望遠鏡が捉えた画像は、赤外線で捉えた物を人が認識できるように変換したも のなので、当然のことながら実際の色では無い。可視光で無い以上、人間の目にとっては完全に無色なのだから。それでも、神秘的であることに変わりは無い。 私達が直接目にすることが出来ない世界は、私達が直接見える世界とは全く違う姿をしている。しかも、そのような世界が幾つも混在しているのである。そして それは、光に限られた事では無く、音や匂いにも当てはまる。人間には聞こえない音や、人間には感知できない匂いがある。だが、そうした音が聞こえたり、匂 いを嗅ぎ分けたりできる動物がいる。逆に、人間に感知できる光では見えない動物もいる。もし、X線しか見えず、超音波しか聞こえない動物がいたら（実在す るのかもしれないが）、視聴覚系で捉えられる部分に関しては、彼らの世界と私達の世界は全く違う姿をしているだろう。しかし、それでも「同じ」世界なので ある。

世界とは、感知できる情報で構成されているわけではなく、そうした情報の源そのものだということを忘れてはならない。しかし、意識 というものは、情報を介さずに直接世界に触れることができない。言い換えれば、意識は情報にしか触れることができないのである。逆に、純粋に情報としてし か在り得ないもの、つまり「虚数」のように完全に概念的なものは、意識にしか触れることができない。だが、意識というものがこの世界に含まれる以上、そう した純粋に概念的な存在もこの世界に含まれる。言うなれば、意識とはそうした純概念を捉えることができる知覚の一つなのである。そして、異なる波長の光で 捉えた世界が違う姿をしているように、異なる意識で捉えた世界も違う姿をしている。同じ意識を持った他人など存在し得ないという事は（同じ意識を持ってい たら、それは同一人物である）、同じ「世界の姿」を共有している他人はいないという事だ。それでも、自分と他人が同じ「世界」に住んでいるという認識を持 つことができるのは、なんとも不思議だとは思わないだろうか。